过程性教学思想的典型案例分析

“二次根式的第二个重要公式=||”的教学案例[1]

师：上节课我们学习了二次根式的概念和一个重要公式.请同学们回忆一下，什么叫二次根式？

    生：式子（≥0）叫做二次根式.

    师：为什么要规定≥0？

    生1：≥0可以保证有意义.如果＜0，就是负数，而负数是没有平方根的，所以就没有意义了.

    师：生1同学从有没有意义来回答这个问题，是对的.但应注意，有没有意义是在实数范围内说的，因此最好在前面添一句“在实数范围内”.那么当≥0时，又是个怎样的数呢？

    生1：总是一个非负数.

    师：对！二次根式（≥0）是非负数的算术平方根的表达式，它本身也是一个非负数.二次根式的一个重要公式又是什么？

    生2：＝ (≥0).(教师板书)

    师：用语言如何叙述呢？

    生2：一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身.

    师：对.现在有这样一个问题：如果把式子的平方记号从根号外移到根号内，变为，那么等于什么呢？

    生众：(不加思索便脱口而出)等于.(教师板书)

    师：如果把改为，那它又等于什么呢？

    生众：＝－.(教师板书，部分同学已开始怀疑)

    师：这两个结论是不是正确呢？我们不妨先比较一下，看两个等式的左边是否相同？

    生3：相同的，因为=.

    师：好，那么这两个等式的右边也应该相同，就是说＝－，难道任何数都等于它的相反数？这里显然有错误，那么问题到底在哪里呢？请同学们想一想.

    (学生两两议论，一时拿不定主意)

    生4：(疑惑)原来的那个结论可能有问题.

    师：看来问题就在这里，如果认为=，恐怕是不妥当的(教师在=的等号上面打个“？”号).那么到底等于什么呢？我们通过下面几组题目再来看.(挂出小黑板)

    根据算术平方根的意义说出下列各式的结果：

第一组：(1)＝＿；            (2)＝＿；

（3）＝＿；       （4）＝＿（＞0）.

第二组：（1）＝＿；      （2）＝＿；

（3）＝＿；     （4）＝＿（＜0）.

先回答第一组题目.

生5：＝2，＝3，＝，=（＞0）.

师：再看第二组题目.

生6：＝2，＝3，＝……

师：这三个题目被开方数都是幂的形式，它的底数是什么数？答案与它又有什么关系？第(4)题答案应是什么呢？

生6：被开方数的底数都是负数，答案是底数的相反数.所以最后一题=－（＜0).

师：同学们都看到了吗？现在=－了!那么刚才第一组不是等于吗？

    生6：第一组里是大于零的，现在的是小于零的.

    师：大家同意吗？

    生众：(多数学生)同意.

    师：对，说得很好!上面两组题目，二次根式的被开方数都是某数平方的形式，即的形式.现在做了前面两组题目以后，大家再想想，的结果到底应该怎样表示？

    (学生独立思考，然后分组讨论，气氛比较热烈)

请同学们汇报一下讨论的结果.

生7：当＞0时，=；当＜0时，=－.

师：可不可以等于0呢？

生7：=0时，==0.

师：归纳得很好.这个结论可以写得简洁一些，就是

=（教师板书）

同学们看到了吗？对于同一个二次根式，由于的情况不一样，它的结果是不同的.能不能用语言来叙述一下？

    生8：一个非负数的平方的算术平方根等于这个非负数本身；一个负数的平方的算术平方根等于这个负数的相反数.

    师：叙述得很好！因为是表示的算术平方根，而由算术平方根的意义知道它必定是非负数，由于的符号不确定，因此不一定等于，而要考虑各种情况：当是正数或零时是它本身；当是负数时是它的相反数，还是正的.

    同学们回忆一下，以前我们学过的什么知识也有类似的情况呢？

    生9：绝对值也有这种情况.

师：对.的绝对值意义也是这样：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；当是零时它的绝对值等于零.

（板书成||=的形式）

那么，比较这两个式子，你认为和||又有什么关系呢？

    生众：=||.

    师：对，这就是我们今天这节课学习的内容.

    (板书课题：=||)

   =||是二次根式的第二个重要公式，求一个数的平方的算术平方根和求这个数的绝对值，结果是一致的.所以求算术平方根这个新问题也可以直接变为求绝对值这个旧问题来解决.

    师：做这两个练习时要看清应用的是哪一个公式.下面再来看一组题目.(挂出小黑板)

化简：

（1）(<0)；        （2）（>4）；

（3）（<5）；  （4）+(<1).

    师：先看一下这组题目与刚才几组题目有什么明显不同的地方？

    生10：刚才几组题目，被开方数是具体数字，这一组题目，被开方数中含有字母.

师：对.那么又应该如何化简呢？先看第（1）题.

生11：=||，因为＜0，所以等于－.

师：可以这样书写：

=||，因为＜0，所以=||=－.

请按这样的格式把（2）、（3）、（4）题练习一下.

(学生练习，教师巡视，再请三名学生板演)

生12：（2）=|－4|，

            因为＞4，所以－4＞0，

            所以=|－4|=－4.

生13：（3）=|－5|，

             因为＜5，所以－5＜0，

             所以=|－5|=－（－5）=5－.

生14：（4）+=+=+|－1|，

           因为＜1，所以－1＜0，

           所以+

                =+|－1|

                =－（－1）

                =－+1=1.

    师：做得很好，第(4)题的被开方数不是某数的平方的形式，先运用完全平方公式把它分解为，再利用公式化简.下面我们再做两道题.(挂出小黑板)

判断下列各式在什么条件下成立？

（1）=－2；     （2）=7－.

生15：（1）＞2；（2）＜7.

    师：有什么意见吗？

    生16：我认为解答不完整，还应加上“等于”.就是：（1）≥2；（2）≤7.

    师：对.现在是知道了题目及其运算结果一2，要求反过来确定条件：可以大于2，也可以等于2.在反过来确定条件时“等于”很容易漏掉，要引起注意.

    师：让我们回到这节课开头碰到的问题，的结果到底应该是什么呢？(学生议论)

生17：=|－|=.

生众：不对.=|－|=||=

    师：对！这个问题还是要分三种情况说明，要注意－不一定是负数.通过学习，我们已经知道，等于||，也等于||，这样就不会得到=－的错误结果了.

    师：上一节课，我们学习了二次根式的第—个重要公式＝(≥0)，今天这节课学习了第二个重要公式=||.大家想一想，这两个公式之间有什么联系呢？(学生议论)

    生18：当≥0时，＝=.(教师板书)

    师：很好！一般来讲，这两个公式是不同的.首先，从运算顺序看，是先开方再平方，是先平方再开方，运算顺序不同；其次，中的被开方数是，必须大于或等于零，而的被开方数是，可以是任何实数，因此取值范围不同；第三，＝，=||，运算结果也不同.但正如这位同学所说，当≥0时，＝=，结果一样，这时两个公式统一起来了.当＜0时，在实数范围内无意义了，而=－，这个公式最容易搞错，希望同学们引起充分注意.

    师：留作业（略）

【案例分析与评价】

在当前大多数教师的教学实践中，“过程性目标”仍然只是一种点缀.在具体落实上，“经历过程”还不够充分，不够自主，流于形式化，教者依然只关注知识技能目标，而不善于设计、挖掘“过程”本身的价值，“经历过程”被异化为“走过场”.表现在时间的分配上，教师舍不得“浪费”时间在过程中，总是急不可耐地直奔知识与技能目标，并不真正让学生去经历、体验、探索.

以本课为例，如果仅从“教知识”的角度出发，五分钟的时间足以搞定.但这样，学生获得的仅仅只是“知识”而不是“智慧”，仅仅是“知道”而没有“感悟”.而本案例的教者，以“经历过程”的视角设计教学过程，从学生的已有经验出发，通过教师的启发性引导，学生完整地经历了公式探究的整个过程，不仅获得了知识与技能，而且收获了思想和能力.学生不再是教师灌输下的知识的被动接收者，而是迸发出学习积极性的、精神愉快的、乐于思索的、自主的学习者.

本案例启示我们，要真正落实过程性目标，首先要确立“过程本身即是教学目标”的理念；其次，要重视对过程本身的设计，善于挖掘过程本身的“附加值”，使过程本身也成为教学的资源，而不仅仅只是为了获得知识与技能；第三，要切实转变学习方式，多给学生自主探索、动手实践、合作交流的机会；第四，要舍得在过程上花时间，让学生在过程中体验、学习、感悟到更多的知识以外的东西.

总之，数学教学过程应是一个学生主体性充分发挥的过程，一个数学知识发生、发展的过程，一个数学思想方法的掌握过程，一个数学能力提高的过程，一个思维品质形成和发展的过程.这些过程相互作用、相互影响、相互依赖、相互融合，共同决定着学习的质量和效果.